Об одном методе определения собственных чисел в задачах теплопроводности для цилиндра

АКТУАЛЬНОСТЬ. Ввиду трудностей нахождения собственных чисел и собственных функций для тел с осевой (цилиндр) и центральной (шар) симметрией, определяемых в классических методах из краевых задач Штурма – Лиувилля, включающих уравнения Бесселя, точные аналитические решения которых не получены (известны лишь численные решения, описываемые приближенными аппроксимационными формулами), возникает необходимость разработки аналитических методов их решения. В связи с чем, была поставлена.

ЦЕЛЬ - разработать метод определения собственных функций и собственных чисел, связанный с выполнением дифференциального уравнения краевой задачи Штурма – Лиувилля в центре симметрии, применительно к телам с осевой симметрией.

МЕТОДЫ. В основу метода положено использование дополнительных граничных условий (ДГУ) и ортогональных систем координатных функций в интегральном методе теплового баланса. Система собственных функций, определяемая из решения краевой задачи Штурма – Лиувилля, принимается в виде тригонометрического ряда, неизвестные константы которого находятся из ДГУ. ДГУ определяются так, чтобы в центре симметрии выполнялось исходное дифференциальное уравнение нестационарной задачи теплопроводности.

РЕЗУЛЬТАТЫ. Показана высокая точность нахождения собственных чисел, получаемых из решения уравнения Бесселя краевой задачи Штурма – Лиувилля. Точность собственных чисел определяется числом используемых ДГУ.

ВЫВОДЫ. Полученное окончательное решение исходной задачи нестационарной теплопроводности для цилиндра включает лишь простые алгебраические выражения, исключая специальные функции (Бесселя, Неймана, Ханкеля), которые имеют место в классических решениях.

1. Карташов Э.М., Кудинов В.А. Аналитические методы теории теплопроводности и ее приложений. 4-е изд. М.: ЛЕНАНД, 2018. 1072 с.

2. Карташов Э.М., Кудинов И.В.. Кудинов В.А. Новые модельные представления нестационарного теплообмена // Известия РАН. Энергетика. 2019. №4, С. 1-8

3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

5. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

6. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высшая школа, 1978. 328 с.

7. Цой П.В. Системные методы расчета краевых задач тепломассопереноса. М: Издательство МЭИ, 2005. 568 с.

8. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М: Энергоиздат, 1984. 418 с.

9. Федоров О.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000. 219 с.

10. Кудинов И.В., Котова Е.В., Кудинов В.А. Метод получения аналитических решений краевых задач на основе определения дополнительных граничных условий и дополнительных искомых функций // Сибирский журнал Вычислительной математики. Новосибирск. 2019. Т. 22. С. 153 – 165.

11. Кудинов В.А., Кудинов И.В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности. М.: ЛИБРОКОМ, 2011. 280 с.

12. Котова Е. В., Кудинов В. А., Стефанюк Е. В., Тарабрина Т. Б. Метод понижения порядка уравнения в частных производных приведением к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям // Изв. вузов. Матем. 2018. № 8. С. 33–45.

13. Кудинов В.А., Котова Е.В., Кузнецова А.Э., Кудинов И.В. Ортогональные методы в задачах теплопроводности с переменными физическими свойствами среды // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2012. №11 – 12. С. 49–59.

14. Кудинов И.В., Еремин А.В., Жуков В.В., Ткачев В.К., Трубицын К.В. Колебания твердых тел, жидкостей и газов с учетом локальной неравновесности. М.: ИНФРА-М, 2022. 162 с

15. Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях: учебное пособие / Кудинов В.А., Аверин Б.В., Стефанюк Е.В., Высшая школа: 2008. 390 с.

16. Карташов Э.М., Кудинов В.А., Калашников В.В. Теория тепломассопереноса: решение задач для многослойных конструкций. Учебное пособие. 2-е изд., пер. и доп. М.: Издательство Юрайт, 2018. 435 с.

17. Кудинов И.В., Еремин А.В., Трубицын К.В., Стефанюк Е.В. Модели термомеханики с конечной и бесконечной скоростью распространения теплоты. Москва. ООО «Проспект». 2020. 224 с.

18. Стефанюк Е.В. Управление потоком лазерного излучения при обработке материалов //Известия высших учебных заведений. Проблемы энергетики. 2009. № 5-6. С. 10 – 17.

19. Tkachev V.K. Approximate analytical solution to the stationary two-dimensional heat conduction problem on infinite bar with the source of heat // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, 552(1). 2019

20. Sobolev S.L. Effective temperature in nonequilibrium state with heat flux using discrete variable models // Physics Letters A. 2017.Vol. 381. Pp. 2893 – 2897.

21. Sobolev S.L. Discrete space-time model for heat conduction: Application to size dependent thermal conductivity in nano-films. International Journal of Heat and Mass Transfer. 2017. Vol. 108. Part А. Р. 933 – 939.

22. Mikheeva G.V. Generalized functions in non-linear thermal conductivity problem for two-layer structure with heat source // J. Phys.: Conf. Ser. 2021, Vol. 1889, № 022025. DOI: 10.1088/1742-6596/1889/2/022025.

23. Mikheeva G.V., Pashin A.V. Investigation of heat transfer in metal nanofilms irradiated with ultrashort laser pulses: two-temperature model // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 2094, № 022023. DOI: 10.1088/1742-6596/2094/2/022023.

24. O.D. Makinde, T.Iskander, F. Mabood, W.A. Khan, V.S. Tshehla. MHD Couette-Poiseuille flow of variable viscosity nanofluids in a rotating permeable channel with Hall effect // Journal of Molecular Liquids. 2018. Vol. 221. P. 778 – 787.

25. Hasona W.M., El-Shekhipi A.A., Ybrahim M.G. Combined effects of magnetohydrodynamic and temperature dependent viscosity of peristaltic flow of Jeffrey nanofluid through a porous medium: applications to oil refinement // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2018. Vol. 126. P.700 – 714.

26. M.E. Gurtin, A.C. Pipkin, A general theory of heat conduction with finite wave speeds // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 31(1968)113.